Bewegungsdesign nach Maß

Bewegungsabläufe lassen sich mit Hilfe höherer Polynome genau berechnen...

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Ein wichtiger Aspekt bei der Entwicklung leistungsfähiger Verarbeitungsmaschinen ist die dynamisch günstige Gestaltung ihrer Bewegungsabläufe. Ziel des Bewegungsdesign-Prozesses ist in der Regel, möglichst hohe Spitzen-Taktzahlen zu erreichen oder alternativ möglichst geringen Verschleiß und möglichst geringe Ausfallzeiten bei festgelegten Nenn-Taktzahlen. Beim Gestalten der Bewegungen sind vielfältige Kriterien gegeneinander abzuwägen:- Kollisionsreserven konkurrierender Bewegungen,- sachgerechte Behandlung des verarbeiteten Produkts,- zulässige Geschwindigkeiten und Beschleunigungen an Maschinenelementen,- zulässige Drehzahlen, Spitzenmomente und Effektivmomente von Servomotoren und Getrieben,- Übertragungswinkel, Krümmungsradius und Hertzsche Pressung an Kurvenbahnen,- Lebensdauer von Kurvenrollen und Kurvenflanken,- Verlustleistung und Energieverbrauch,- Weichheit der Verläufe von Beschleunigung und Antriebsmoment,- Neigung zur Schwingungsanregung- sowie Nichtlinearitäten der bewegten Mechanik.Sehr verbreitet als Grundlage für die Festlegung von Bewegungen ist die VDI-Richtlinie 2143 [1]. Weil die Richtlinie die Bewegungsgesetze katalogartig zusammenstellt, könnte der Eindruck entstehen, dass allein die Auswahl des „richtigen“ Bewegungsgesetzes aus diesem Katalog ein optimales Bewegungsverhalten der Maschine garantiert. Dies ist aber eine zu starke Vereinfachung des Bewegungsdesign-Prozesses. Um das dynamische Potenzial einer Mechanik voll auszunutzen, kommt es darauf an, die Abtriebsbewegungen als optimalen Kompromiss der genannten und auf alle Teilmechanismen gleichzeitig bezogenen Kriterien zu gestalten. Wichtig beim Bewegungsdesign ist das Bewusstsein, dass man Bewegungsverläufe in ihrer Gänze im Detail frei festlegen kann, um die Mechanik dynamisch optimal auszunutzen.Man benötigt für das Gestalten der Bewegungen geeignete Beschreibungsmittel, damit man seine Vorstellungen von den idealen Bewegungsverläufen auch umsetzen kann.Polynomgesetz 5. Ordnung bietet sich zur Lösung anDie VDI-Richtlinie 2143 bietet dazu das Bewegungsgesetz „Polynom 5. Ordnung B-B“ an. Werden mehrere Bewegungsgesetze dieses Typs hintereinandergehängt, erhält man einen quintischen Spline, dessen Stützpunkte mit Zeit, Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung so optimiert werden können, dass sich das gewünschte Bewegungsprofil ergibt.In der Praxis erweist sich dieser Ansatz aber oft als umständlich. Gerade bei kniffligen Bewegungsauslegungen, bei denen viele sich widersprechende Kriterien berücksichtigt werden müssen oder bei denen viele Zwischen-Stützpunkte erforderlich sind, entsteht eine hohe Zahl von Optimierungsparametern: je Zwischen-Stützpunkt Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung, zusätzlich gegebenenfalls Geschwindigkeit und Beschleunigung in den funktionsbedingten Grenzlagen. Der Aufwand für die Optimierung, die in der Regel manuell durchgeführt werden muss, steigt exponentiell mit der Anzahl der beteiligten Optimierungsparameter.Einen leistungsfähigeren Ansatz für die Bewegungsoptimierung bieten dagegen allgemeine Polynome n-ter Ordnung:f(z) = a0 + a1•z + a2•z2 + a3•z3 + ... + an•znPolynome n-ter Ordnung haben n+1 anpassbare Koeffizienten a0 ... an, sodass damit n+1 Interpolationsbedingungen erfüllt werden können. Zur dynamisch günstigen Gestaltung eines Bewegungsabschnitts im Bewegungsdiagramm werden nun zweckmäßig einzelne Stützpunkte mit Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung oder höheren Ableitungen an beliebigen Stellen innerhalb des normierten Bewegungsabschnitts vorgegeben.Mit Hilfe der allgemeinen Polynomdarstellung f(z) und ihrer Ableitungen wird aus diesem Satz von Interpolationsbedingungen ein lineares Gleichungssystem, mit dem die Koeffizienten des allgemeinen Polynoms berechnet werden. Als Beispiel seien folgende Interpolationsbedingungen gegeben: (i = Ableitungsordnung, z = Zeitparameter, f = Funktionswert):1. f(0) = 0 sowie i=0, z=0, f=02. f(1) = 1 sowie i=0, z=1, f=13. f’(0) = 0 sowie i=1, z =0, f=04. f’(1) = 0 sowie i=1, z =1, f=05. f’’(0) = 0 sowie i=2, z =0, f=06. f’’’(0) = 0 sowie i=3, z =0, f=07. f’’’(1) = 0 sowie i=3, z =1, f=08. f’’’’(1) = 0 sowie i=4, z =1, f=09. f(0,4) = 0,2 sowie i=0, z =0,4, f=0,2Aus diesen neun Bedingungen ergibt sich ein Polynomgrad von acht. Nun wird das lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten aufgestellt und gelöst.Zunächst sieht dieser Ansatz komplizierter und umständlicher aus als die Optimierung mit einer Folge von Polynomen 5. Ordnung. Entscheidend ist aber, dass bei angemessener Vorgabe von Interpolationsbedingungen im Rahmen des Bewegungsdesigns keine oder nur wenige Parameter anfallen, die manuell optimiert werden müssen. Bei praktischen Bewegungsdesign-Aufgaben verbleiben außerdem fast ausschließlich solche Optimierungsparameter, die mit einem bestimmten numerischen Algorithmus ermittelt werden können.Anhand von typischen Beispielen soll gezeigt werden, wie bestimmte Design-Anforderungen mit Polynomen höherer Ordnung umgesetzt werden können. Bei Rast-in-Rast-Übergängen (R-R) werden immer die Interpolationsbedingungen f(0)=0, f(1)=1, f‘(0)=0, f‘(1)=0, f‘‘(0)=0 und f‘‘(1)=0 gesetzt. In der Folge werden diese Bedingungen nicht jedes Mal ausdrücklich aufgeführt.Für schnelllaufende, das heißt in der Nähe oder im Bereich von Resonanzen arbeitende Abtriebsbewegungen, sollte nicht nur die Beschleunigung, sondern auch die Ableitung der Beschleunigung, die so genannte Ruckfunktion, stetig sein. Die meisten Bewegungsgesetze der VDI-Richtlinie 2143 sind ruckfrei, das heißt stetig in der Beschleunigung, haben aber Sprünge in der Ruckfunktion. Mit Polynomen höherer Ordnung werden die Interpolationsbedingungen f‘‘‘(0)=0 und f‘‘‘(1)=0 vorgegeben. Für einen Rast-in-Rast-Übergang entsteht so das Polynom 7. Ordnung mit stetiger Ruckfunktion. Bekannt ist eine spezielle Transformation der Bewegungsgesetze nach VDI2143, um den Anfang oder das Ende eines Bewegungsabschnitts „weicher“ zu machen: die Wendepunktverschiebung. Diese Transformation erhält die Ruckfreiheit des Bewegungsgesetzes, erzeugt aber Sprünge in der Ruckfunktion.Bei einem höheren Polynom kann die Interpolationsbedingung f(l) = l mit dem Wendepunktsparameter l verwendet werden, um die Wendepunktverschiebung ohne zusätzliche Sprünge in der Ruckfunktion zu erreichen.Reduzieren der MaximalbeschleunigungDas gezeigte Polynom 7. Ordnung R-R hat einen sehr weichen Beschleunigungsverlauf mit stetiger Ruckfunktion und niedrigen Ruckfunktionswerten, aber ungünstigerweise auch sehr hohe Beschleunigungskennwerte. Die Maximalwerte der Beschleunigung können reduziert werden, indem Steigung und Krümmung der Beschleunigung an günstigen Stellen im Beschleunigungs- und Verzögerungsbereich auf 0 gesetzt werden, sodass Abflachungen im Beschleunigungsverlauf entstehen. Wird für den R-R-Übergang zum Beispiel f‘‘‘(0)=0, f‘‘‘(1)=0, f‘‘‘(0.2)=0, f‘‘‘‘(0,2)=0, f‘‘‘(0,8)=0, f‘‘‘‘(0,8)=0 gesetzt, so entsteht das Polynom 11. Ordnung R-R (Bild 4): Werden im Beschleunigungs- oder im Verzögerungsbereich noch weitere Ableitungen auf 0 gesetzt, so verbreitert sich die jeweilige Flachstelle in der Beschleunigung, sodass auch der dortige Maximalwert der Beschleunigung sinkt.Geradeneinschübe sind von Vorteil Werden in Beschleunigungs- und Verzögerungsbereich unterschiedlich viele Ableitungen auf 0 gesetzt, entsteht ein Effekt ähnlich einer Wendepunktverschiebung. Setzt man zum Beispiel für den R-R-Übergang f‘‘‘(0)=0, f‘‘‘(1)=0, f‘‘‘(0,25)=0, f‘‘‘‘(0,25)=0, f(5)(0,25)=0, f(6)(0,25)=0, f(7) (0,25)=0, f(8) (0,25)=0, f‘‘‘(0,82)=0, f‘‘‘‘(0,82)=0, f(5) (0,82)=0, f(6)(0,82)=0, so erhält man folgenden Beschleunigungsverlauf: Um Übertragungswinkel zu verbessern, Stegdicken bei Stegkurven zu vergrößern, Spitzendrehzahlen bei Servomotoren und Getrieben zu reduzieren oder das Effektivmoment an Servomotoren zu optimieren, ist oft der Einschub von Bereichen konstanter Geschwindigkeit in der Mitte des Bewegungsabschnitts hilfreich. Durch solche Geradeneinschübe wird die Maximalgeschwindigkeit über einen längeren Zeitraum gehalten, sodass der gleiche Hub in gleicher Zeit mit geringerem Absolutwert der Maximalgeschwindigkeit erreicht wird.Setzt man zum Beispiel in einem R-R-Übergang f‘‘‘(0)=0, f‘‘‘(1)=0, f‘‘‘(0,14)=0, f‘‘‘‘(0,14)=0, f‘‘‘(0,86)=0, f‘‘‘‘(0,86)=0, f‘‘(0,5)=0, f‘‘‘(0,5)=0, f‘‘‘‘(0,5)=0, f(5)(0,5)=0, so entsteht ein Bewegungsgesetz mit einem angenäherten Bereich konstanter Geschwindigkeit und folgendem Beschleunigungsverlauf (Bild 6):In den vorangegangenen Beispielen sind in den Interpolationsbedingungen teilweise z-Parameter ungleich 0, 0,5 und 1 angegeben (0,25, 0,82, 0,14, 0,86). Diese Parameterwerte sind Ergebnis einer kurzen manuellen oder einer automatisch ablaufenden Optimierung. Sie werden so ermittelt, dass sich Flachpunkte und keine Sattelpunkte im Beschleunigungsverlauf ergeben.Interessant ist, dass sich verschiedene Design-Anforderungen für einen Bewegungsabschnitt gleichzeitig erfüllen lassen, wenn die entsprechenden Interpolationsbedingungen kombiniert werden. Aus diesen Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich die eigentliche Leistungsfähigkeit von höheren Polynomen beim Bewegungsdesign.Literatur[1] VDI-Richtlinie 2143 Blatt 1, Weißdruck Oktober 1980.