Steuerungstechnik Überschleifverfahren für numerische Steuerungen

Gemäß der Beschreibung der zu fertigenden Werkstücke generieren numerische Steuerungen (NC) eine relative Bahn zwischen Werkzeug und Werkstück, die sogenannten Sollwerte. Um Werkstücke mit hoher Qualität bei gleichzeitig geringer Bearbeitungszeit und Maschinenbelastung zu fertigen, ist die Wahl der Methode zur Sollwertgenerierung im Allgemeinen und zur Interpolation im Speziellen entscheidend.

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Numerische Steuerungen stellen in der Regel mehrere unterschiedliche Interpolationsverfahren zur Verfügung. Um die Anforderungen an den Fertigungsprozess und die Werkstücke erfüllen zu können, besteht an die Verfahren der Anspruch, die gewünschte Bahn genau abzubilden, konstante Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsprofile zu generieren und ein Anregen der Maschinenstruktur zu vermeiden. Im Detail bedeutet dies, dass die interpolierte Bahn die folgenden Eigenschaften aufweisen sollten:

• Oszillationsfreiheit zur exakten Konturabbildung und Verringerung der Maschinenanregung

• Lokalität zur Beschränkung der Auswirkung von Stützpunktänderungen

• Invarianz auf Rotation, Translation und Skalierung

• Tangenten-(G1) und Krümmungsstetigkeit (G2) zum glatten Verlauf der Zentripetalbeschleunigung

• Exakte Berechenbarkeit der Bogenlänge zur Erzeugung eines zeitoptimalen Geschwindigkeitsprofils

In diesem Beitrag wird ein Überschleifverfahren mittels Klothoiden vorgestellt, das die oben genannten Anforderungen erfüllt. Durch die exakte Berechenbarkeit der Bogenlänge eignet sich das Verfahren insbesondere für Bearbeitung großvolumiger Bauteile, da damit die Bearbeitungszeit reduziert werden kann.

Beim Überschleifen findet vor allem die Polynominterpolation höherer Ordnung (Grad ≥ 3) Anwendung. Das Verfahren basiert auf der Einpassung stückwiese definierter Polynome zwischen zwei Stützpunkten, sodass die Bahnverläufe an den Übergangsstellen tangenten- und krümmungsstetig sind. Allerdings ergibt sich beim Polynomüberschleifen kein optimales Geschwindigkeitsprofil. Dies liegt darin begründet, dass Polynome ab 3. Grad nicht analytisch lösbar sind und mittels numerischer Verfahren approximiert werden müssen. Dadurch kommt es zu Fehlern bei der Ausgabe der Weglänge. Vergleichbare Eigenschaften weisen diesbezüglich B-Splines und NURBS auf, die ebenfalls bei gängigen NC-Steuerungen Einsatz finden.

Exakte Berechnung der Bogenlänge

Die Klothoide, auch Cornu- oder Eulerspirale genannt, ist eine ebene Spiralkurve mit zwei Ausprägungen in C- und S-Form. Die S-Klothoide besteht aus zwei am Ursprung gespiegelten C-Klothoiden (Abbildung 1). Besondere Eigenschaften der Klothoide sind die lineare Krümmungszunahme über die Bogenlänge und die Parametrisierung der Kurve über die Bogenlänge. Letztere gewährleistet die exakte Berechnung der Bogenlänge, wodurch sich ein zeitoptimales Geschwindigkeitsprofil ermitteln lässt. Die mathematische Beschreibung der Klothoide erfolgt mittels der Fresnel-Integrale, die jedoch nicht analytisch lösbar ist. Hierfür wird ein numerisches Verfahren eingesetzt, bspw. durch Reihenentwicklung mit Fehler |e_n |<1e^-9. Diese numerische Ungenauigkeit zur Lösung der Fresnel-Integrale ist jedoch in der Regel noch günstiger als die Approximationsfehler zur Berechnung der Bogenlänge, die bei Polynom-, B-Spline und NURBS entstehen (je nach eingesetzten Verfahren kann die Approximation in ungünstigen Fällen bis zu 8,7 % Fehler aufweisen).

Höherer Ruck an den Übergangsstellen

Zur Validierung der Vorteile von Klothoiden wird ein Überschleifversuch mittels einer rechteckigen Referenzkontur durchgeführt. Dabei werden Klothoidensegmente zwischen zwei orthogonal stehenden Linearsegmenten eingepasst und dem Überschleifverfahren mittels Polynomspline gegenübergestellt. Das Klothoidenüberschleifen besteht aus der Kombination zweier Klothoidensegmente und einem Kreissegment. Dadurch ergeben sich ideale Zentripetalbeschleunigungsverläufe an den Übergangsstellen, so dass die Vorschubgeschwindigkeit beim Überschleifen nicht unnötig abgesenkt werden muss. Da derzeit Implementierungen zum Klothoidenüberschleifen in NC-Steuerungen noch nicht existieren, werden die Klothoidensegmente bei dem Versuch durch B-Splines angenähert. Hierzu werden zunächst Klothoidenkurven in Matlab umgesetzt, aus denen in gleichmäßigen Abständen die sogenannten De-Boor-Punkte zur Beschreibung einer B-Splinekurve definiert werden. Aus dieser Annäherung werden NC-Codes generiert. Die Versuchsdurchführung erfolgt an einer Exeron-Werkzeugmaschine HSC600 mit einer Twin-CAT-Steuerung. In Abbildung 2 werden der Geschwindigkeits- und Ruckverlauf als Ergebnis der Versuchsdurchführung dargestellt, links das Überschleifen mit angenäherten Klothoiden und rechts mit Polynomspline. Bei Polynomspline sind Geschwindigkeitsreduzierungen an den Übergangsstellen festzustellen (eingekreist), während das Klothoidenüberschleifens eine konstante Vorschubgeschwindigkeit gewährleistet. Trotz niedrigerer Geschwindigkeit entsteht bei Polynomspline ein höherer Ruck an den Übergangsstellen. Für produzierende Unternehmen bedeutet dies, dass das Klothoidenüberschleifen eine Reduzierung der Bearbeitungszeit und Maschinenanregung ermöglichen kann.

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