Ringzugspannung in exzentrischerSchrumpfverbindung berechnen

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Der Querschnitt wird nur durch Kräfte in seiner Ebene beansprucht. Die Mittelfläche soll bei Formänderungen eben bleiben. Da die Scheibenränder von Kreisen gebildet werden, verwendet man am besten Polarkoordinaten.

Spannungskomponenten durch die Scheibengleichungen ausdrücken

Die Scheibengleichung ΔΔF₀ = 0 mit dem Ursprung in z₁ ist die den Spannungszustand beschreibende airysche Funktion F₀(R₀, ψ₀) [3], [4]. Die Spannungskomponenten Radialspannung σ_g, Tangentialspannung σ_ψ und Schubspannung τ_Rψ lassen sich durch die Scheibengleichungen ausdrücken (Gleichungen 2 bis 4).

Bei konformer Verpflanzung gehen harmonische Funktionen wieder in harmonische Funktionen über [5]. Die Gleichung F = R² × F₀ nennt den Zusammenhang zwischen der Spannungsfunktion F₀ in der physikalischen Ebene und der Spannungsfunktion F(R,ψ) in der Modellebene.

Die Spannungsfunktion F im konzentrischen Kreisring lautet in der Form F(r,φ)

F = K₁[r² × ln r + ln r + K₂ × r² + (2 × r × ln r + K₃ × r² + K₄ × ¹/_r) × cosφ]

mit den Konstanten K₁ … K₄ aus den Gleichgewichts- und Randbedingungen unter Berücksichtigung eindeutiger Formänderungen nach den Gleichungen 5 bis 8 in der Formelsammlung. Die Durchmesser d_a und d_i in diesen Gleichungen des konzentrischen Kreisrings (Modellebene) liefern d_a = D / (K² - D²) und d_i = d / [(K-e)² - d²] mit der Gleichung 9.

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