Ringzugspannung in exzentrischerSchrumpfverbindung berechnen

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An engster Stelle des Querschnitts und am Bohrungsdurchmesser Ringzugspannung berechnen

An der engsten Stelle des Querschnitts (φ = π beziehungsweise φ₀ = 0) und am Bohrungsdurchmesser d erhält man aus den vorangegangenen Gleichungen für die auf den Fugendruck p bezogene Ringzugspannung σ_ψ über die Gleichung 10. Diese Tangentialspannung auf dem Bohrungsrand d ist stets eine Zugspannung.

Diese letzte Gleichung lässt sich vereinfachen, sodass man damit für die maximal bezogene Tangentialspannung max (σ_ψ/p) am Bohrungsrand die Gleichung 11 erhält mit e < (d/4) und max (σ_ψ/p) immer bei φ = π beziehungsweise φ ₀ = 0 nach Bild 2, und Gleichung 12 mit e > (d/4) und max (σ_ψ/p) immer bei φ = arccos(-d/4e).

Tangentialspannung für kleine Exzentrizitäten ermitteln

Für kleine Exzentrizitäten, also wenn e << d – unter Vernachlässigung quadratischer Terme von e – verwendet man stattdessen auch die Näherung zur Ermittlung der bezogenen maximalen Tangentialspannung. Das drückt Gleichung 13 in der Formelsammlung aus. Bemerkenswert ist dabei der 1. Term, der dem Spannungszustand des konzentrischen Kreisrings unter Innendruck entspricht.

Vielfach bestimmt die Festigkeit des Außenteils einer Schrumpfverbindung den zulässigen Fugendruck und hiermit das übertragbare Drehmoment beziehungsweise die Axialkraft. Deshalb ist man auf der sicheren Seite, wenn der „Ersatz“-Durchmesser D* für eine konzentrische Ringberechnung zur Dimensionierung des Außenteils zugrunde gelegt wird, also um die zulässige Fugenpressung aufgrund der maximalen Vergleichsspannung zu ermitteln (siehe Zahlenbeispiel im Kastentext).

Ergänzendes zum Thema

Zahlenbeispiel

Berechnung der Ringzugspannung am Beispiel verdeutlicht

Ein abschließendes Zahlenbeispiel verdeutlicht mit den Abmessungen in der z-Ebene (siehe Bild) mit D = 120 mm, d = 40 mm und e = 15 mm die Berechnung der maßgeblichen maximalen Ringzugspannung mit den vorstehenden Formeln.

Zwischenergebnisse aus Gleichung 1: z₁ = 211,29, z₂ = 17,04, z₁ – z₂ = 194,25.

Das entspricht dem Radius des Einheitskreises nach Bild 2 und unter Berücksichtigung von Gleichung 1 ergibt sich d_i/2 = 0,10193, d_a/2 = 0,28397 mit K₁ = -0,012363 p (aus Gleichung 5), K₂ = -6,932008 (aus Gleichung 6), K₃ = -10,986355 (aus Gleichung 7) und K₄ = 0,009199 (aus Gleichung 8).

σ_ψ/p = 1,406 (aus Gleichung 10) mit r = d_i/2 = 0,10193

oder: σ_ψ/p = 1,414 (aus Gleichung 12) an der Stelle φ₀ = 48° (Bild 2).

Zum Vergleich erhält man in einem konzentrischen Kreisring, der aus dem Innendurchmesser d = 40 mm und dem „Ersatz“-Durchmesser K = 90 mm gebildet wird, eine maximale bezogene Ringzugspannung:

K = D – 2e

σ_ψ/p = (90² + 40²) / (90² – 40²) = 1,492

Es ist sinnvoll, für eine konzentrische Ringberechnung zur Dimensionierung des Außenteils den „Ersatz“-Durchmesser K zugrundezulegen. Der Unterschied beträgt in diesem Beispiel etwa 5 %. Eine Kontrolle mit den Gleichungen 11, 12 oder 13 aus der Formelsammlung ist empfehlenswert.

Literatur

[1] Tochtermann, W. und Bodenstein, Ferdinand (1968): Konstruktionselemente des Maschinenbaus. Berlin: Springer-Verlag

[2] Rothe, Rudolf (1962): Höhere Mathematik. Stuttgart: B. G. Teubner

[3] Sturmath, Rainer (1982): Spannungsverteilung in kreisförmigen Stabköpfen. in: MM Maschinenmarkt (1982), Nr. 1/2, S. 7-9

[4] Sturmath, Rainer: Beanspruchung von Bolzen – Laschen – Verbindungen. in: MM Maschinenmarkt (1990), Nr. 15, S. 160-162

[5] Timmann, Steffen (1998): Repetitorium der Funktionentheorie. Barsinghausen: Binomi Verlag

* Rainer Sturmath lehrte Konstruktion an der Fachhochschule Südwestfalen in 59872 Meschede

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Welle-Nabe-Verbindung

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